Universidad Politécnica de Valencia
Grado en Ingeniería Agroalimentaria y del Medio Rural
Cursan dos asignaturas de matemáticas:
Fundamentos matemáticos I
Fundamentos matemáticos II
Programa de Fundamentos Matemáticos I
Descripción general de la asignatura
La asignatura de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería I aporta al futuro ingeniero los conocimientos matemáticos y estadísticos necesarios para la modelización y resolución de problemas relacionados con otras asignaturas de su titulación y de problemas que fomentan la abstracción, la elección de estrategias adecuadas y la interpretación de los resultados obtenidos.
La materia que se imparte está estructurada en 3 unidades temáticas. La primera unidad está dedicada al estudio de los conceptos básicos de estadística y cálculo de probabilidades. En la segundad unidad se estudia el álgebra matricial, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. La tercera unidad comprende los temas dedicados al estudio de los conceptos de espacio vectorial y espacio euclídeo, y a la diagonalización de matrices. También se realizarán prácticas de informática en las que se resolverán problemas aplicados a la ingeniería mediante el uso del programa Matlab.
Competencias
Materia Competencia Nivel
Matemáticas Capacidad para el aprendizaje continuo y en entornos cambiantes 2
Matemáticas Capacidad de resolución de problemas y espíritu crítico 1
Matemáticas Capacidad para el manejo de documentación técnica 2
Matemáticas Capacidad de adaptación a la evolución de las herramientas 1
Matemáticas Capacidad de consolidación, ampliación e integración de los conocimientos1
Matemáticas Capacidad para el aprendizaje autónomo 1
Matemáticas b. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos 1
Matemáticas b. Capacidad para la utilización de herramientas de informáticas básicas 2
Conocimientos recomendados
Haber cursado la asignatura de Matemáticas en el Bachillerato Científico-Técnico o similares.
Selección y estructuración de las Unidades Didácticas
1. Estadística y Probabilidad
Conceptos básicos de Cálculo de Probabilidades: Poblaciones. Variables aleatorias. Sucesos. Probabilidad: concepto y propiedades. Probabilidad condicional: concepto, independencia de sucesos. Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes.
Distribuciones de Probabilidad: distribuciones discretas; distribuciones continuas, función de densidad. Esperanza matemática. Media, varianza y desviación típica. Distribuciones bidimensionales: concepto e independencia.
Principales distribuciones: concepto y propiedades de las distribuciones Binomial, de Poisson y Normal.
2. Matrices, Sistemas de Ecuaciones Lineales y Determinantes
Álgebra Matricial: tipos de matrices, propiedades y operaciones. Inversa de una matriz.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: algoritmo de Gauss. Discusión de sistemas. Aplicación de los sistemas a la modelización de redes de flujo y a los circuitos eléctricos. Método de mínimos cuadrados.
Determinantes: propiedades y cálculo. Fórmula de expansión de Laplace. Matriz de Vandermonde. Aplicación al cálculo del polinomio de interpolación.
3. Espacios Vectorial y Euclídeo. Diagonalización de matrices
Espacio Vectorial: definición y propiedades. Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión. Cambio de base.
Espacio Euclídeo: producto escalar y propiedades. Norma, ángulo y distancia entre vectores. Ortogonalidad. Subespacio ortogonal. Algoritmo de Gram-Schmidt. Descomposición QR de una matriz.
Diagonalización de matrices: definición y propiedades de los valores y vectores propios de una matriz. Subespacio propio. Matrices semejantes y diagonalización de matrices reales. Aplicación al estudio de cadenas de Markov.
4. Programa de prácticas
Introducción a Matlab: introducción de vectores y matrices. Operaciones con matrices.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cálculo de determinantes: comandos rref() y det(). Aplicación a redes de flujo, circuitos eléctricos e interpolación polinomial.
Descomposición QR de una matriz: bases ortonormales y algoritmo de Gram-Schmidt: comandos orth() y qr(). Aplicación a mínimos cuadrados.
Cálculo de valores y vectores propios: comando eig(). Aplicación a la resolución de cadenas de Markov.
Distribución
La Unidad Temática de Estadística y Probabilidad se impartirá en las 4 primeras semanas del curso académico. El resto del programa se desarrollará a continuación en el orden que aparece en la estructuración de Unidades Didácticas.
Unidad didáctica Trab. Presencial Trab. no Presencial
Matrices, Sistemas de Ecuaciones Lineales y Determinantes 15 22,5
Espacios Vectorial y Euclídeo. Diagonalización de matrices 20 30
Estadística y Probabilidad 15 22,5
Programa de prácticas 10 15
Total horas: 60 90
Metodología de enseñanza-aprendizaje
Actividades de trabajo presencial
Nombre :
Descripción Horas
Clase magistral:
Exposición de contenidos mediante presentación o explicación por parte de un profesor (posiblemente incluyendo demostraciones). 24
Resolución de ejercicios y problemas:
Realización. por parte de los estudiantes, de cualquier tipo de ejercicios y problemas. 20
Laboratorio:
Actividades desarrolladas en espacios especiales con equipamiento especializado (laboratorio, aulas informáticas). 10
Acrividades de evaluación:
Conjunto de pruebas escritas, orales, prácticas, proyectos, trabajos, etc. utilizados en la evaluación del progreso del estudiante. 6
Total horas: 60
Actividades de trabajo autónomo
Nombre:
Descripción Horas
Trabajos prácticos:
Preparación de actividades para exponer o entregar en las clases prácticas. 30
Estudio teórico:
Estudio de contenidos relacionados con las "clases teóricas": Incluye cualquier actividad de estudio que no se haya computado en el apartado anterior (estudiar exámenes, trabajo en biblioteca, lecturas complementarias, hacer problemas y ejercicios, etc.). 45
Estudio práctico:
Relacionado con las "clases prácticas". 15
Total horas: 90
Evaluación
Prueba escrita de respuesta abierta:
Prueba cronometrada, efectuada bajo control, en la que el alumno construye su respuesta. Se le puede conceder o no el derecho a consultar material de apoyo.
Observación:
Estrategia basada en la recogida sistemática de datos en el propio contexto de aprendizaje: ejecución de tareas, prácticas
La evaluación será continua. Las clases correspondientes a Teoría de Aula, Prácticas de Aula y Seminarios se evaluarán mediante la realización de 3 pruebas escritas de respuesta abierta (examen clásico). De esta manera se obtendrán las notas N1, N2 y N3 correspondientes a las Unidades Temáticas 1, 2 y 3, respectivamente.
Las Prácticas de Informática se evaluarán mediante la entrega de las soluciones de los problemas que se planteen en cada una de ellas. La nota de prácticas (NP) se obtendrá promediando la nota obtenida en cada una de las 4 prácticas programadas.
Para aprobar la asignatura será necesario:
1) Haber obtenido una nota igual o mayor que 4 en cada examen de las Unidades Temáticas, es decir, Ni>=4 para i=1,2,3.
2) Obtener una nota media de prácticas igual o superior a 4.
3) Haber asistido a un mínimo del 75% de los seminarios y al 100% de las prácticas de informática. La asistencia se controlará mediante parte de firmas.
4) Obtener una nota final de la asignatura (NF) igual o superior a 5. Esta nota se obtendrá aplicando la siguiente fórmula:
NF = N1*0.25 + N2*0.30 + N3*0.30 + NP*0.15
Sobre el examen de recuperación:
1) Tendrán derecho los alumnos que, habiendo suspendido la asignatura, hayan realizado TODOS los actos de evaluación, es decir, hayan obtenido alguna calificación en todos los examenes de las Unidades Temáticas y hayan entregado los problemas de todas las prácticas de informática.
2) El alumno se examinará de la materia vista en las Unidades Temáticas cuya nota sea inferior a 5, es decir, se guarda la nota de las Unidades Temáticas aprobadas.
3) Aquellos alumnos que tengan una nota de prácticas (NP) inferior a 4 y hayan asistido a TODAS las prácticas, podrán realizar un examen de recuperación de prácticas. La fecha y lugar de este examen será fijada por los profesores.
4) La nota de la asignatura tras el examen de recuperación se obtendrá también aplicando la fórmula NF anterior.
Recursos
Software: Matlab.
pizarra
problemas resueltos
aula informática
software informático(especificar en observaciones)
transparencias
apuntes
exámenes resueltos
Bibliografía
Algebra lineal (Bru García, Rafael)
Problemas de álgebra lineal (Bru García, Rafael)
Aplicaciones de álgebra lineal (Grossman, Stanley I.)
Teoria y problemas de algebra lineal y sus aplicaciones (Torregrosa Sánchez, Juan Ramón)
Matrix analysis and applied linear algebra : solutions manual (Meyer, Carl D.)
Algebra lineal (Larson, Ron)
Métodos Estadísticos en Ingeniería (Romero Villafranca, Rafael)
Programa de Fundamentos Matemáticos II
Descripción general de la asignatura
Los Fundamentos Matemáticos II, junto con la asignatura de Fundamentos Matemátcos I, reúnen los contenidos de matemáticas que son necesarios para la obtención de este título de Grado. Representan, pues, la última y definitiva etapa de formación en matemáticas para quienes obtengan este título.
El objetivo de la asignatura es proporcionar a los alumnos los conocimientos fundamentales sobre cálculo diferencial e integral y ecuaciones diferenciales ordinarias para su aplicación a problemas reales de Ingeniería, proporcionándole la base conceptual para proseguir estudios avanzados de estas materias.
La asignatura se divide en dos partes, que se corresponden cada una de ellas con una clase semanal de 1,5 horas: Una, para la teoría y problemas de aula (llamada TEORÍA en esta guía); otra, para seminarios y prácticas de laboratorio (llamada PRÁCTICA en esta guía). Cada una de estas partes es relativamente independiente y tiene una metodología distinta aunque es de esperar que interaccionen positivamente de modo que faciliten el proceso de enseñanza y aprendizaje.
El objetivo de la parte de TEORÍA es proporcionar a los alumnos los conocimientos fundamentales sobre esos contenidos para su aplicación a problemas reales de Ingeniería.
En la parte de PRÁCTICA se priorizan los conceptos y las aplicaciones frente a las destrezas de cálculo, que se suplen con el uso habitual de recursos informáticos. Esos recursos están presentes en todos los ambientes de ese proceso de enseñanza y aprendizaje: En los aspectos teóricos que puedan tratarse y, desde luego, en la resolución de ejercicios y problemas, donde se muestra la forma concreta de abordarlos. Como consecuencia de lo anterior, también están presentes en los exámenes.
Competencias
Materia Competencia Nivel
Matemáticas Capacidad para el aprendizaje continuo y en entornos cambiantes 1
Matemáticas Capacidad de resolución de problemas y espíritu crítico 1
Matemáticas Capacidad para el manejo de documentación técnica 1
Matemáticas Capacidad de adaptación a la evolución de las herramientas 2
Matemáticas Capacidad de consolidación, ampliación e integración de los conocimientos1
Matemáticas Capacidad para el aprendizaje autónomo 1
Matemáticas b. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos 1
Matemáticas b. Capacidad para la utilización de herramientas de informáticas básicas 2
Conocimientos recomendados
Los diversos caminos de acceso a la titulación significan en la práctica distintos niveles previos en Matemáticas. Seguramente lo deseable sería acceder desde un único nivel, el que fuese, pero lo cierto es que los estudiantes pueden proceder de distintos bachilleratos o de formación profesional. Por tanto, la parte de seminarios y práctica informática de la asignatura se aborda desde esa perspectiva. A pesar de ello, los estudiantes que no hubieran tenido matemáticas en 2º de bachillerato o que procedan de alguna opción distinta de la "científico-técnica", pueden tener alguna dificultad adicional, lo mismo que quienes proceden de formación profesional, por mucho que eso se intente evitar y no se tome el contenido de las matemáticas II de la opción tecnológica como punto de partida. Para esos alumnos la Escuela ofrece unas clases de "prerrequisitos" o de repaso a las que será muy conveniente asistir. Asimismo, el recurso habitual a las herramientas informáticas significa que los estudiantes deben adquirir una familiarización previa con el uso de ordenadores personales.
Para la parte de TEORÍA, señalemos que los conocimientos necesarios que el alumno necesita para abordarla son:
1) Saber manejar logaritmos y funciones trigonométricas (razones de la suma, razones del ángulo mitad, sumas de razones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas,etc.)
2) Saber derivar correctamente todas las funciones elementales.
3) Tener nociones elementales sobre el cálculo de integrales y de los métodos de integración por partes y por cambio de variable.
4) Dominar el cálculo algebraico para saber simplificar y operar con expresiones complicadas.
Selección y estructuración de las Unidades Didácticas
1. Derivación (Parte TEORÍA)
Repaso de las funciones elementales (trigonométricas y sus inversas, exponenciales, logaritmos, etc.)
Límites de funciones. Concepto de derivada
Derivadas de las funciones elementales. Práctica del cálculo de derivadas de combinaciones de funciones ordinarias (sin ordenador).
Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor. Derivadas parciales.
2. Cálculo diferencial (para funciones de una variable real) (Parte PRÁCTICA)
El infinito y los conjuntos numéricos.
Sucesiones de números reales.
Series de términos positivos.
Continuidad, derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables y aplicaciones.
Series de potencias.
3. Integración y cálculo de primitivas (Parte TEORÍA)
Integral indefinida. Métodos elementales de integración. Integración por partes. Integración por cambio de variable. Funciones hiperbólicas. Resolución de ejemplos (sin ordenador).
Números complejos.Integración de funciones racionales. Método de descomposición en fracciones simples. Resolución de ejemplos (sin ordenador)
Integración de funciones irracionales. Método alemán. Cálculo de integrales concretas (sin ordenador).
Integración de funciones trigonométricas. Cambios de variable canónicos. Resolución de ejemplos (sin ordenador).
Integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de integrales definidas por cambio de variable y por partes. Aplicaciones geométricas: cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas. Cálculos concretos (sin ordenador). Integrales impropias.
4. Cálculo integral (Parte PRÁCTICA)
El concepto de integral. La integral de Riemann.
El cálculo de una integral. Aproximación. La regla de Barrow.
Revisión del concepto de área, de longitud y de volumen. Volumen de un "cuerpo de sección conocida".
Integrales impropias. Cálculo y aplicaciones.
5. Funciones de dos variables (Parte PRÁCTICA)
Dominio. Gráfica. Límites y contininuidad. Puntos críticos. Extremos relativos. Extremos condicionados.
6. Introducción a las ecuaciones diferenciales (Parte TEORÍA)
Descripción de algunos problemas científicos que conducen a ecuaciones diferenciales. Conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.
Tipos de ecuaciones diferenciales resolubles por métodos elementales. Solución de ejemplos concretos (sin ordenador).
7. Ecuaciones diferenciales lineales (Parte TEORÍA)
Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones de Bernouilli y Ricatti. Solución de ejemplos concretos (sin ordenador).
Ecuaciones lineales de orden n de coeficientes constantes: caso de ecuaciones homogéneas y caso de ecuaciones completas, Métodos de solución. Ecuación de Euler. Solución de ejemplos concretos (sin ordenador).
Ecuaciones lineales generales de orden n. Independencia lineal. Resultados generales. Método de variación de las constantes. Solución de ejemplos concretos (sin ordenador).
Ecuación diferencial de Bessel. Funciones de Bessel. Aplicaciones en elasticidad.
8. Ecuaciones diferenciales ordinaras (Parte PRÁCTICA)
Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. La ecuación de Clairaut.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ecuación lineal, ecuaciones incompletas. Aplicaciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales.
Distribución
Unidad didáctica Trab. Presencial Trab. no Presencial
Introducción a las ecuaciones diferenciales (Parte TEORÍA) 5 7,5
Ecuaciones diferenciales lineales (Parte TEORÍA) 20 30
Derivación (Parte TEORÍA) 5 7,5
Integración y cálculo de primitivas (Parte TEORÍA) 15 22,5
Cálculo diferencial (para funciones de una variable real) (Parte PRÁCTICA) 17,5 25
Cálculo integral (Parte PRÁCTICA) 12,5 20
Funciones de dos variables (Parte PRÁCTICA) 5 7,5
Ecuaciones diferenciales ordinaras (Parte PRÁCTICA) 10 15
Total horas: 90 135
Metodología de enseñanza-aprendizaje
Actividades de trabajo presencial
Nombre:
Descripción Horas
Clase magistral:
Exposición de contenidos mediante presentación o explicación por parte de un profesor (posiblemente incluyendo demostraciones). 40
Resolución de ejercicios y problemas:
Realización. por parte de los estudiantes, de cualquier tipo de ejercicios y problemas. 26
Laboratorio:
Actividades desarrolladas en espacios especiales con equipamiento especializado (laboratorio, aulas informáticas). 10
Acrividades de evaluación:
Conjunto de pruebas escritas, orales, prácticas, proyectos, trabajos, etc. utilizados en la evaluación del progreso del estudiante. 14
Total horas: 90
Actividades de trabajo autónomo
Nombre:
Descripción Horas
Estudio teórico Estudio de contenidos relacionados con las "clases teóricas": Incluye cualquier actividad de estudio que no se haya computado en el apartado anterior (estudiar exámenes, trabajo en biblioteca, lecturas complementarias, hacer problemas y ejercicios, etc.). 67,5
Estudio práctico:
Relacionado con las "clases prácticas". 67,5
Total horas: 135
Evaluación
Prueba escrita de respuesta abierta Prueba cronometrada, efectuada bajo control, en la que el alumno construye su respuesta. Se le puede conceder o no el derecho a consultar material de apoyo.
Pruebas objetivas (tipo test) Examen escrito estructurado con diversas preguntas o ítems en los que el alumno no elabora la respuesta; sólo ha de señalarla o completarla con elementos muy precisos.
La calificación final de la asignatura se obtendrá como la media aritmética de las calificaciones de la parte de TEORÍA y de PRÁCTICA, siempre que cada una de ellas sea igual o mayor que 4. La asignatura se considerará superada cuando dicha media sea igual o superior a 5.
Evaluacion de la parte PRÁCTICA:
======================
Se hará mediante cuatro exámenes que, corresponderán, aproximadamente, al 25% de la materia cada uno de ellos (los dos primeros para el cálculo diferencial y las funciones de dos variables; el tercero para el cálculo integral y el último para las ecuaciones diferenciales).
La nota final de esta parte se obtendrá como la media de esos cuatro parciales, siempre que la nota en cada uno de ellos sea superior a 2,5. En otro caso o cuando la media sea suspenso, será necesario hacer una prueba final de recuperación. Por tanto, a la recuperación final debe presentarse quien tenga alguno de los parciales con nota inferior a 2,5 (incluso si la nota media fuese aprobado). Es posible presentarse para subir la nota en alguno o algunos de los parciales. Como por norma general no es posible aprobar una asignatura con una única prueba de evaluación, no puede aprobarse esta asignatura haciendo únicamente esa prueba de recuperación final, de modo que no podrían recuperarse los cuatro parciales. En función del desarrollo de la asignatura, se podrá incluir alguna recuperación con los mismos exámenes parciales: Por ejemplo, que con el segundo parcial se pueda recuperar el primero.
Evaluación de la parte TEORÍA:
====================
Se realizarán dos exámenes parciales P1 y P2, cada uno al final de cada cuatrimestre de 2 horas y 30 minutos cada uno, en las fechas determinadas por la Escuela y de la materia explicada en cada cuatrimestre.
Se realizarán dos controles C1 y C2, cada uno aproximadamente a mitad de cada cuatrimestre de 1 hora cada uno, en las fechas determinadas por la Escuela y de la materia explicada hasta la fecha del control.
La calificación de cada cuatrimestre será la suma de la nota del parcial correspondiente y del 20% de la nota del control realizado en el mismo, rebajada a 10 en el caso de superarse ese número.
La calificación de la parte TEORÍA será la media aritmética de cada cuatrimestre.
Recuperación:
=========
Si la calificación final es menor de 5, o no se puede calcular por no cumplir alguno de los requisitos exigidos, el alumno deberá recuperar el parcial o parciales de TEORÍA o PRÁCTICA que tenga con calificación menor de 5.
Recursos
El asistente matemático que utilizamos es "Derive" (v. 6.10 en español). El uso de este asistente se hace en primer lugar como apoyo para el desarrollo de algunos conceptos, aplicando técnicas de "visualización", entre otras cosas. En segundo lugar, se utiliza exhaustivamente para la resolución de ejercicios y problemas, de modo que aquello en lo que pueda utilizarse no se da como mera alternativa, sino como único apoyo en la parte de seminario y laboratorio. Evidentemente, ello no suplanta los planteamientos, las estrategias de resolución de los ejercicios y problemas. La destreza en el uso de ese asistente se supone que el estudiante la adquiere por su cuenta, aunque con cierta ayuda en las clases prácticas (seminarios) y las de laboratorio. Finalmente, el asistente se utiliza en los exámenes de esa parte. La elección de este programa (frente a otras alternativas) se hace por su probada sencillez de manejo y, precisamente, porque esa utilízación no enmascara el objeto fundamental de la asignatura, es decir, las propias matemáticas.
pizarra
problemas resueltos
aula informática
software informático(especificar en observaciones)
videos
exámenes resueltos
Bibliografía
Ecuaciones diferenciales (Ayres, Frank)
Matemáticas básicas para biocientíficos : (Biologos, medicos, veterinarios, bioquimicos, etc.) (Batschelet, Edward)
Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (Boyce, William E.)
Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (Kiseliov, Alexandr I.)
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas (Simmons, George F.)
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Zill, Dennis G.)
Problemas y ejercicios de analisis matematico (Baranenkov, G.; Demidóvich, B.P.)
Cálculo superior (Spiegel, Murray R.)
Cálculo con geometría analítica (Larson, Ron)
Cálculo II : teoría y problemas de funciones de varias variables (García López, Alfonsa)
Cálculo de varias variables (Bradley, Gerald L.)
Cálculo de varias variables (Bradley, Gerald L.)
Matemáticas con Derive 6 (Llorens Fuster, José Luis)
Matemáticas con Derive 6 (Llorens Fuster, José Luis)
Cálculo diferencial e integral (Ayres, Frank (1901-1994))
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