Las matemáticas y la naturaleza

Las Teselaciones de Voronoi, también conocidas como Polígonos de Thiessen

son formaciones geométricas que se basan en un patrón de distribución que resulta fácilmente reconocible en muchas estructuras naturales, como las alas de los  insectos o las ramificaciones capilares vegetales.
Veamos un sistema muy intuitivo de entender cómo se conforma una Teselación de Voronoi:

Imaginad que tenemos dos puntos: uno rojo y otro azul (arriba a la izquierda). Empezamos trazando una línea que los une y después otra perpendicular que se halle justo en la mitad. Acabamos de hallar la mediatriz del segmento de unión de estos dos puntos.

Arriba a la derecha añadimos un tercer punto verde y generamos dos nuevas mediatrices, que se interseccionan con la primera.

Si seguimos añadiendo puntos podremos ir generando sucesivas mediatrices que, con sus intersecciones, darán lugar a una serie de polígonos —Teselas de Voronoi— alrededor de un conjunto de “puntos de control”. De esta manera, el perímetro de los polígonos generados es equidistante a los puntos vecinos y designa su área de influencia.

Los segmentos que unen directamente los puntos forman una estructura triangular conocida como Triangulación de Delaunay. 

En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en las imágenes: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi. 

Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.

Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto). Podéis verlo en la siguiente gráfica:

Una vez que tenemos definida la Triangulación de Delaunay (arriba a la izquierda) podemos ir girando 90º cada uno de los segmentos de los triángulos por el punto medio para dar con la Teselación de Voronoi. Exactamente lo que muestra la imagen justo antes de alejarnos y mostrar la estructura del ala de nuestra libélula.