La Botella de Klein

La botella de Klein no tiene un interior ni un exterior, ni es estrictamente una botella. No tiene bordes y es una superficie cerrada. Si se quiere hacer el modelo en el espacio tridimensional, tendrá que pasar a través de sí misma. Una botella de Klein es una superficie no orientable abierta.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Construccion:

Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en el diagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Más formalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] × [0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.

Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que al tratar de hacerlo en tres dimensiones resulta una botella de Klein que se autointersecta. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No obstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar los extremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nótese que esto crea una autointersección circular. Esta es un inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (donde la superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.