Las Matematicas en la Naturaleza

Las matemáticas además de su papel formativo y de transmisión de ideas tiene también una presencia muy importante en la naturaleza y en casi todo el ámbito de la vida humana. 

En al caso del numero áureo que se encuentra en muchas esculturas, construcciones de catedrales, en las plantas, en los animales.

El nautilo es un antiguo y sagaz matemático cuyos antepasados fueron casi los dueños de los primitivos océanos (hace 450 millones de años). Es un geómetra de primera línea. Es un cefalópodo, como el pulpo o la sepia, que habita en una concha en forma de espiral formada por varias cámaras unidas por tabiques (puede llegar a medir 18 cm de diámetro y su concha está forrada de nácar). A medida que el nautilo crece, como lo hace la curva de Descartes desde su origen, pasa de una cámara a otra. Lo hace isométricamente, o sea que sus cámaras aumentan de tamaño pero su forma es invariable Por homotecia las cámaras se generan una tras otra con una relación de proporcionalidad poco común en la naturaleza. Puede habitar a 600 metros bajo las aguas y resistir grandes presiones hidrostáticas, debido a que las paredes aumentan de grosor de forma proporcional al radio de la concha. Para completar una vuelta completa necesita 18 cámaras...

La espiral equiangular descrita por Descartes no puede dibujarse solo con regla y compás (como se verá, es una curvalogarítmica). Sin embargo, disponemos de algunas buenas aproximaciones. Una de ellas es la llamada espiral de Durero, que el pintor y grabador construyó de la siguiente manera: dado un rectángulo áureose divide este en un cuadrado y un rectángulo más pequeño (mediante una línea roja en la imagen). Es fácil ver que el nuevo rectángulo también es áureo, por lo que se puede repetir con él el proceso (línea verde) y continuar indefinidamente. Pues bien: los vértices obtenidos son puntos de una espiral como la descrita por Descartes. Para tener una aproximación a ella basta entonces unir dichos vértices mediante cuartos de circunferencia.

Un proceso parecido se puede realizar al revés: partiendo de dos cuadrados de longitud uno se van construyendo cuadrados de lado igual a la suma de los dos anteriores. Uniendo los vértices mediante arcos circulares tendremos de nuevo una aproximación a la espiral equiangular, y esta vez con el añadido de que los radios de los sucesivos arcos forman una sucesión de Fibonacci. Se le llama, cómo no, espiral de Fibonacci.

Resulta que la espiral nautílica se puede aproximar también tomando como base un triángulo isósceles con ángulos de 36º, 72º y 72º y construyendo sucesivos triángulos bisecando uno de los ángulos iguales (en la figura se empezaría con C para obtener D, luego se bisecaría B para obtener E y así sucesivamente). Los triángulos que se van obteniendo son todos semejantes, y cumplen que la razón entre los lados mayor y menor de cada uno de ellos es exactamente igual a la proporción áurea. Por ello se les llama triángulos áureos.