Que se dominen las técnicas básicas de cálculo que se utilizan en el estudio de las funciones reales de una y varias variables y
funciones vectoriales
límites
derivadas
integrales
Que se conozca el significado de los términos ecuación diferencial ordinaria (EDO) y ecuación diferencial parcial, así como los tipos de
soluciones y algunos métodos de cálculo de EDOs.
Que se conozcan algunos métodos numéricos para el cálculo de:
raices de funciones
integrales
soluciones de problema de valor inicial de EDO
Que se conozcan los fundamentos básicos de Cálculo vectorial, sus objetos matemáticos y métodos específicos de cálculo
curvas y superficies
campos escalares y vectoriales
integrales de linea y superficie
BLOQUES TEMÁTICOS Y MODALIDADES ORGANIZATIVAS
Bloque I. Álgebra lineal
Contenido/Tema
Tema 1. Espacio euclídeo n-dimensional.
1. Definición y operaciones.
2. Norma, distancia y ortogonalidad.
3. Introducción a la topología.
4. El producto vectorial.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
Clase magistral participativa 1,0
teórico
Sesiones de contenido
Ampliación de explicaciones 1,0
práctico
Resolución de problemas 1,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Contenido/Tema
Tema 2. El conjunto de los números complejos.
1. Definición y operaciones.
2. Formas polar y trigonométrica de un número complejo.
3. Exponencial de un número complejo. Fórmula de De Moivre.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
Clase magistral participativa 1,0
teórico
Sesiones de contenido
Ampliación de explicaciones 1,0
práctico
Resolución de problemas 1,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Contenido/Tema
Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes.
1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices: definiciones. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz.
Matrices escalonadas.
2. Estudio y resolución de sistemas lineales: el método de Gauss. Rango de una matriz. El teorema de Rouché-Fröbenius.
3. Operaciones con matrices. Suma, producto por escalares y producto de matrices. Inversa de una matriz cuadrada.
Potencia entera de una matriz cuadrada. Traspuesta de una matriz. Caracterizaciones de la inversibilidad de una matriz
cuadrada. Obtención de la inversa de una matriz cuadrada mediante operaciones elementales.
4. Determinante de una matriz cuadrada y sus aplicaciones. Definición de determinante. Propiedades de los
determinantes. Cálculo de determinantes. Obtención de la inversa de una matriz mediante adjuntos. Aplicaciones de los
determinantes al estudio y resolución de sistemas lineales.
5. Subespacios vectoriales del espacio euclídeo. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y dimensión de
dichos subespacios. Coordenadas respecto de una base. Trasladados de subespacios vectoriales. Subespacios
generados por las filas o columnas de una matriz: aplicaciones.
6. Vectores y valores propios de una matriz cuadrada. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor
propio. Matrices cuadradas diagonalizables: definición y caracterizaciones. Algunas aplicaciones prácticas de la
diagonalización de matrices.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
Clase magistral participativa 3,0
teórico
Sesiones de contenido
Resolución de problemas 3,0
práctico
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Bloque II. Funciones reales de una y varias variables y funciones vectoriales.
Contenido/Tema
Tema 4. Funciones: límites y continuidad.
1. Funciones reales de una variable real. Operaciones. Principales ejemplos. Acotación, monotonía y extremos.
2. Funciones reales de varias variables. Operaciones. Principales ejemplos. Curvas y superficies de nivel. Acotación y
extremos.
3. Funciones vectoriales de una o varias variables. Operaciones. Principales ejemplos.
4. Límites y continuidad de funciones reales de una variable. Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites
infinitos. Límites en el infinito. Indeterminaciones. Continuidad de una función en un punto o en un conjunto. Tipos de
discontinuidades. Estudio de la continuidad de varios tipos principales de funciones. Técnicas para el cálculo de límites.
5. Límites y continuidad de funciones reales de varias variables. Límite de una función en un punto. Continuidad de una
función. Límite de una función en un punto relativo a un subdominio. Límites infinitos y límites en el infinito. Técnicas para
el cálculo de límites.
6. Límites y continuidad de funciones vectoriales de una o varias variables.
7. Teoremas fundamentales de las funciones reales continuas. Teoremas de los valores extremos, del valor intermedio y
de Bolzano para funciones de una variable. Localización y aproximación de ceros de una función real de una variable: el
método de bisección. Introducción a los teoremas fundamentales de las funciones continuas de varias variables.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico
Clase magistral participativa 3,0
Sesiones de contenido
práctico
Ampliación de explicaciones 2,0
Resolución de problemas
4,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Bloque III. Derivación e Integración.
Contenido/Tema
Tema 5. Derivación de funciones.
1. Derivación de funciones reales y vectoriales de una variable. Derivación parcial de funciones reales y vectoriales de
varias variables. Derivadas direccionales de funciones reales de varias variables.
2. Derivación y continuidad.
3. Derivación y operaciones.
4. Cálculo de derivadas, derivadas parciales y derivadas direccionales. Cálculo de derivadas de funciones reales y
vectoriales de una variable. Cálculo de derivadas parciales de funciones reales y vectoriales de varias variables. Cálculo
de derivadas direccionales de funciones reales de varias variables. Derivación implícita de funciones reales de una
variable. Derivación parcial implícita de funciones reales de varias variables.
5. Teoremas fundamentales de la derivación de funciones reales de una variable. Teoremas de Rolle y del valor medio.
Reglas de L'Hôpital.
6. Estudio de la monotonía y extremos de una función real de variable real. Convexidad y concavidad.
7. Localización y aproximación de ceros.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico
Clase magistral participativa 3,0
Sesiones de contenido
práctico
Ampliación de explicaciones 2,0
Resolución de problemas
3,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Contenido/Tema
Tema 6. Integración de funciones reales.
1. Integración indefinida. Primitivas de funciones reales de una o varias variables: definición y propiedades. Métodos
usuales para la obtención de integrales indefinidas.
2. Integración definida. Funciones integrables de una variable: principales ejemplos y propiedades. Funciones integrables
de varias variables: definición, principales ejemplos y propiedades.
3. Integración simple: regla de Barrow. Integración numérica de funciones de una variable.
4. Integración doble e integración triple.
5. Integración impropia de funciones de una o dos variables.
6. Aplicaciones prácticas de la integración simple, doble y triple.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico
Clase magistral participativa 4,0
Sesiones de contenido
práctico
Ampliación de explicaciones 1,0
Resolución de problemas
4,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Bloque IV. Ecuaciones diferenciales.
Contenido/Tema
Tema 7. Ecuaciones diferenciales.
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y sus tipos principales. Problemas de valores iniciales.
2. Métodos de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ecuaciones en variables separadas.
Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones exactas.
3. Métodos numéricos de resolución de problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden: Método de Euler. Método de Euler modificado. Método de Runge-Kutta clásico.
5. Métodos de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Ecuaciones de segundo orden
reducibles a ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales homogéneas: resultados generales. Ecuaciones lineales
homogéneas con coeficientes constantes. Ecuaciones lineales no homogéneas: resultados generales y método de
variación de parámetros. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes: método de los coeficientes
indeterminados.
6. Métodos de integración de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes: el
caso homogéneo.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico
Clase magistral participativa 3,0
Sesiones de contenido
práctico
Ampliación de explicaciones 2,0
Resolución de problemas
3,0
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Bloque V. Cálculo vectorial.
Contenido/Tema
Tema 8. Curvas y superficies.
1. Rectas, planos e hiperplanos.
2. Curvas y sus parametrizaciones.
3. Vectores tangentes y normales a curvas. Definiciones de vector y recta tangente a una curva parametrizada. Curvas
regulares y curvas regulares a trozos. Vectores normales a una curva parametrizada. El vector derivada segunda de la
parametrización de una curva. Obtención de vectores tangentes y normales a una curva de nivel.
4. Longitud de una curva.
5. Superficies y sus parametrizaciones.
6. Vectores tangentes y normales a superficies parametrizadas. Plano tangente y recta normal a una superficie en un
punto. Superficies regulares y superficies suaves, y sus versiones a trozos. Obtención de planos tangentes y rectas
normales a una superficie de nivel. Superficies orientables.
7. Área de una superficie.
8. Algunas aplicaciones de las curvas y superficies parametrizadas.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico
Clase magistral participativa 2,0
Sesiones de contenido
práctico
Ampliación de explicaciones 3,0
3,0
Resolución de problemas
Descripción del trabajo autónomo del alumno
Contenido/Tema
Tema 9. Campos escalares y vectoriales: integración sobre curvas y superficies.
1. Campos escalares y campos vectoriales. Definiciones y ejemplos. Conjuntos de nivel y campos de direcciones de un
campo vectorial. Líneas de flujo de un campo vectorial. Laplaciano y gradiente de un campo escalar. Divergencia y
rotacional de un campo vectorial.
2. Integración de campos escalares sobre curvas y superficies.
3. Integración de campos vectoriales sobre curvas y superficies.
4. Campos vectoriales conservativos. Caracterizaciones del concepto de campo conservativo. Potencial de un campo
conservativo.
5. Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss.
Modalidades Organizativas y Metodología de Trabajo
Modalidad Organizativa Procedimientos y Actividades Formativas Observaciones Horas Pres./On line
Sesiones de contenido
teórico.
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