El desarrollo de
los aspectos matemáticos de la música está apoyado en tres bases: la física, la
fisiológica y la cultural.
Base
física
La emisión de “sonido” sin ninguna regularidad
se llama “ruido”. Lo que recibe propiamente el nombre de “sonido” se
caracteriza ante todo por responder a impulsos periódicos regulares, y viene
caracterizado por:
- Intensidad, que físicamente es la potencia
transmitida.
- Tono, o sea la frecuencia del movimiento
vibratorio periódico básico.
- Timbre, cualidad que le prestan los armónicos
acompañantes, llamando armónicos a los componentes de la onda sónica de
frecuencias mayores e intensidades menores que la principal, siendo dichas
frecuencias múltiplos de la básica o de mayor intensidad.
Como acabamos de
decir, el sonido debe consistir en vibraciones periódicas. Éstas vienen
definidas por su frecuencia (repeticiones por segundo), y dentro de ellas, las
más perfectas son las llamadas “armónicas”, caracterizadas por la
proporcionalidad entre la fuerza originadora y el efecto producido (presión del
aire). Matemáticamente, responden a la expresión:
x = a sin 2 π ν t
donde es:
- x: Elongación (presión
del aire).
- a: Amplitud (elongación
máxima).
- ν: Frecuencia.
- t: Tiempo.
Representaremos
su gráfica para una amplitud a = 1 y una frecuencia
ν = 440 hz, correspondiente
a la nota definida internacionalmente como la3 (en algunos países, la5). En el dibujo se
recogen cuatro períodos, en el intervalo comprendido entre 0 y 1/110 s.
Sin embargo,
sólo los sonidos puros (como los del diapasón) tendrán una gráfica así. En
general, ésta tendrá un aspecto de este tipo:
Pero se puede
demostrar matemáticamente (descomposición en serie de Fourier) que toda función
periódica es descomponible en otras de tipo sinusoidal y de frecuencias
iguales, doble, triple, etc. (es decir, sus armónicos). Efectuado el análisis de
la curva anterior, se halla que corresponde a la suma de otras tres curvas
sinusoidales de períodos respectivos 2π, 4π y 6π. La ecuación de la curva sería
así:
y = sin x + 1/2 sin 2 x +1/4 sin 3 x
Es decir, que el sonido
de partida podría descomponerse en tres sonidos puros de períodos igual, doble
y cuádruple. Éstas serían, superpuestas, sus tres gráficas respectivas:
Se comprende por
tanto el interés de estudiar separadamente las distintas ondas sinusoidales
simples, que son llamadas notas musicales. Desde luego, puede asociarse cada
nota musical con una frecuencia, por lo que su número es infinito, pero algunas
tienen nombre concreto.
Base fisiológica
Cuando dos o más notas son emitidas
simultáneamente, se genera un fenómeno ondulatorio de superposición de
frecuencias. El efecto percibido es más “agradable” cuanto más sencilla es la
relación de frecuencias, pues la onda resultante es también sencilla al poderse
crear movimientos ondulatorios compuestos de un tipo como el visto
anteriormente. Por ejemplo, el acorde más sencillo es el formado por una nota y
la de frecuencia doble (llamada “la octava”) al coincidir un nodo de la primera
con uno de cada dos de la segunda. Para el caso en que ambas tengan la misma
amplitud, ésta es la gráfica:
Más
generalmente: la relación entre dos notas es captada en función de sus
frecuencias relativas, por lo que denominaremos “intervalo” entre ellas no a su
diferencia de frecuencias, sino entre el cociente de las mismas. En el caso
anterior, el intervalo entre una nota y su octava es 1:2.
Base cultural
Finalmente, el
aspecto cultural incide al menos en un doble frente: en primer lugar, los usos
culturales pueden modificar más o menos parcialmente los asertos anteriores, en
especial la sensación estética, y, por otra parte, esos mismos usos influyen en
la elección de una gama, es decir, de la individuación de algunas notas entre
todas las posibles.
-Bibliografía:
http://www.sectormatematica.cl/musica.html
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