Programa de matematicas, en la Universidad de Almería, para el grado Ingeniero Tecnico Agricola en Explotaciones Agropecuarias.

I. TEMARIO

Tema 1. Introducción: números reales, espacio euclídeo y números complejos.

1. Conceptos y notaciones de la teoría de conjuntos.

2. El conjunto R de los números reales. Principales subconjuntos de R. Valor absoluto de un número real: propiedades. Introducción a la topología de R.

3. Espacio euclídeo n-dimensional. Definición y operaciones. Norma, distancia y ortogonalidad en Rⁿ. Introducción a la topología de Rⁿ. El producto vectorial en Rⁿ. Ecuaciones de rectas, planos e hiperplanos.

4. El conjunto de los números complejos. Definición y operaciones. Formas polar y trigonométrica de un número complejo. Exponencial de un número complejo. Fórmula de De Moivre.

TEMA 2. Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes.

1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices: definiciones. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices escalonadas.

2. Estudio y resolución de sistemas lineales: el método de Gauss. Rango de una matriz. El teorema de Rouché-Fröbenius.

3. Operaciones con matrices. Suma, producto por escalares y producto de matrices. Inversa de una matriz cuadrada. Potencia entera de una matriz cuadrada. Traspuesta de una matriz. Caracterizaciones de la inversibilidad de una matriz cuadrada. Obtención de la inversa de una matriz cuadrada mediante operaciones elementales.

4. Determinante de una matriz cuadrada y sus aplicaciones. Definición de determinante. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes. Obtención de la inversa de una matriz mediante adjuntos. Aplicaciones de los determinantes al estudio y resolución de sistemas lineales.

5. Subespacios vectoriales del espacio euclídeo. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y dimensión de dichos subespacios. Coordenadas respecto de una base. Trasladados de subespacios vectoriales. Subespacios generados por las filas o columnas de una matriz: aplicaciones.

6. Vectores y valores propios de una matriz cuadrada. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio. Matrices cuadradas diagonalizables: definición y caracterizaciones. Algunas aplicaciones prácticas de la diagonalización de matrices.

Tema 3. Funciones: límites y continuidad.

1. Funciones reales de una variable real. Operaciones. Principales ejemplos. Acotación, monotonía y extremos.

2. Funciones reales de varias variables. Operaciones. Principales ejemplos. Curvas y superficies de nivel. Acotación y extremos.

3. Funciones vectoriales de una o varias variables. Operaciones. Principales ejemplos.

4. Límites y continuidad de funciones reales de una variable. Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos. Límites en el infinito. Indeterminaciones. Continuidad de una función en un punto o en un conjunto. Tipos de discontinuidades. Estudio de la continuidad de varios tipos principales de funciones. Técnicas para el cálculo de límites.

5. Límites y continuidad de funciones reales de varias variables. Límite de una función en un punto. Continuidad de una función. Límite de una función en un punto relativo a un subdominio. Límites infinitos y límites en el infinito. Técnicas para el cálculo de límites.

6. Límites y continuidad de funciones vectoriales de una o varias variables.

7. Teoremas fundamentales de las funciones reales continuas. Teoremas de los valores extremos, del valor intermedio y de Bolzano para funciones de una variable. Localización y aproximación de ceros de una función real de una variable: el método de bisección. Introducción a los teoremas fundamentales de las funciones continuas de varias variables.

Tema 4. Derivación de funciones.

1. Derivación de funciones reales y vectoriales de una variable. Derivación parcial de funciones reales y vectoriales de varias variables. Derivadas direccionales de funciones reales de varias variables.

2. Derivación y continuidad.

3. Derivación y operaciones.

4. Cálculo de derivadas, derivadas parciales y derivadas direccionales. Cálculo de derivadas de funciones reales y vectoriales de una variable. Cálculo de derivadas parciales de funciones reales y vectoriales de varias variables. Cálculo de derivadas direccionales de funciones reales de varias variables. Derivación implícita de funciones reales de una variable. Derivación parcial implícita de funciones reales de varias variables.

5. Teoremas fundamentales de la derivación de funciones reales de una variable. Teoremas de Rolle y del valor medio. Reglas de L'Hôpital.

6. Estudio de la monotonía y extremos de una función real de variable real. Convexidad y concavidad.

7. Localización y aproximación de ceros.

Tema 5. Integración de funciones reales.

1. Integración indefinida. Primitivas de funciones reales de una o varias variables: definición y propiedades. Métodos usuales para la obtención de integrales indefinidas.

2. Integración definida. Funciones integrables de una variable: principales ejemplos y propiedades. Funciones integrables de varias variables: definición, principales ejemplos y propiedades.

3. Integración simple: regla de Barrow. Integración numérica de funciones de una variable.

4. Integración doble e integración triple.

5. Integración impropia de funciones de una o dos variables.

6. Aplicaciones prácticas de la integración simple, doble y triple.

TEMA 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Ecuaciones diferenciales y sus tipos principales. Problemas de valores iniciales.

2. Métodos de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ecuaciones en variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones exactas.

3. Métodos numéricos de resolución de problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: Método de Euler. Método de Euler modificado. Método de Runge-Kutta clásico.

5. Métodos de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Ecuaciones de segundo orden reducibles a ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales homogéneas: resultados generales. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Ecuaciones lineales no homogéneas: resultados generales y método de variación de parámetros. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes: método de los coeficientes indeterminados.

6. Métodos de integración de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes: el caso homogéneo.

TEMA 7. Curvas y superficies.

1. Curvas en Rⁿ y sus parametrizaciones.

2. Vectores tangentes y normales a curvas. Definiciones de vector y recta tangente a una curva parametrizada. Curvas regulares y curvas regulares a trozos. Vectores normales a una curva parametrizada. El vector derivada segunda de la parametrización de una curva. Obtención de vectores tangentes y normales a una curva de nivel.

3. Longitud de una curva.

4. Superficies en Rⁿ y sus parametrizaciones.

5. Vectores tangentes y normales a superficies parametrizadas. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto. Superficies regulares y superficies suaves, y sus versiones a trozos. Obtención de planos tangentes y rectas normales a una superficie de nivel. Superficies orientables.

6. Área de una superficie.

7. Algunas aplicaciones de las curvas y superficies parametrizadas.

TEMA 8. Campos escalares y vectoriales: integración sobre curvas y superficies.

1. Campos escalares y campos vectoriales. Definiciones y ejemplos. Conjuntos de nivel y campos de direcciones de un campo vectorial. Líneas de flujo de un campo vectorial. Laplaciano y gradiente de un campo escalar. Divergencia y rotacional de un campo vectorial.

2. Integración de campos escalares sobre curvas y superficies.

3. Integración de campos vectoriales sobre curvas y superficies.

4. Campos vectoriales conservativos. Caracterizaciones del concepto de campo conservativo. Potencial de un campo conservativo.

5. Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss.